Bayes çıkarımı, istatistikte kullanılan bir yöntemdir ve Bayes teoremine dayanır. Temel amacı, belirli bir veri seti göz önünde bulundurulduğunda bir hipotezin olasılığını hesaplamaktır. Bu yaklaşım, özellikle belirsizlik altında karar verme ve olasılıklı tahmin yapma konularında sıklıkla kullanılır.
Bayes çıkarımının anahtar unsuru, öncül olasılık (prior probability) ve sonrasal olasılık (posterior probability) kavramlarıdır:
Öncül Olasılık (Prior Probability): Bir olayın veya hipotezin, yeni veriye veya bilgiye maruz kalmadan önceki olasılığıdır. Bu, önceki deneyimlere veya inançlara dayalı bir tahmindir.
Sonrasal Olasılık (Posterior Probability): Yeni veri veya bilgiler ışığında bir olayın veya hipotezin olasılığının güncellenmiş hali. Bayes teoremi, bu yeni bilgileri öncül olasılığa entegre ederek sonrasal olasılığı hesaplamak için kullanılır.
Bayes çıkarımının formülü şu şekildedir:
Burada:
P(H∣D) sonrasal olasılıktır: Veri D göz önüne alındığında hipotez H olasılığı.
P(D∣H) olasılıktır: Hipotez H doğruysa veri D olasılığı.
P(H) öncül olasılıktır: Herhangi bir veri göz önüne alınmadan hipotez H olasılığı.
P(D) verinin marjinal olasılığıdır ve genellikle normalleştirme faktörü olarak kullanılır.
Bu yöntem, özellikle yapay zeka ve makine öğrenmesi alanlarında, olasılıksal modellerin güncellenmesi ve tahminlerin iyileştirilmesi için yaygın olarak kullanılmaktadır. Bayes çıkarımı, belirsizlik altında enformasyon kazanımını optimize etmek ve karmaşık veri setlerinden anlamlı sonuçlar çıkarmak için etkili bir araçtır.
User
Örnek bir senaryo verir misin?
ChatGPT
Elbette, Bayes çıkarımını anlamak için basit bir örnek senaryo üzerinden gidelim:
Senaryo: Hastalık Tespiti
Diyelim ki, belirli bir hastalığı tespit etmek için kullanılan bir test var. Bu testin bazı özellikleri şöyle:
Eğer bir kişide hastalık varsa, test %99 oranında pozitif sonuç veriyor (yani %1 yanılma payı var).
Eğer bir kişide hastalık yoksa, test %95 oranında negatif sonuç veriyor (yani %5 yanlış pozitif oranı var).
Nüfusun genelinde bu hastalığa sahip olanların oranı %0.5 (yani her 200 kişiden 1'inde bu hastalık var).
Şimdi, rastgele bir kişi testi yaptırdı ve sonuç pozitif çıktı. Bu kişinin gerçekten hastalığa sahip olma olasılığını Bayes çıkarımı ile hesaplayalım.
Bayes Formülünü Uygulama:
Öncül Olasılık (Prior Probability),
�
(
�
)
P(H): Bu hastalığa sahip olma olasılığı %0.5.
Olasılık,
P(D∣H): Eğer kişi hastaysa, testin pozitif çıkma olasılığı %99.
Verinin Marjinal Olasılığı,
P(D): Bu, testin herhangi bir kişide pozitif çıkma olasılığıdır. Bu, hastalığa sahip olanlar için pozitif çıkma olasılığı ve hastalığa sahip olmayanlar için yanlış pozitif çıkma olasılığının toplamıdır.
Hastalığa sahip olanların oranı %0.5 ve bu durumda testin doğru pozitif olma olasılığı %99. Hastalığa sahip olmayanların oranı %99.5 ve yanlış pozitif olma olasılığı %5.
Bu durumda,
P(D)=0.005×0.99+0.995×0.05.
Sonrasal Olasılık (Posterior Probability),
P(H∣D): Bu, test pozitif çıktığında hastalığa sahip olma olasılığıdır ve Bayes teoremi ile hesaplanır:
Bu hesaplamayı yapalım:
Hesaplamaya göre, testi pozitif çıkan bir kişinin gerçekten hastalığa sahip olma olasılığı yaklaşık %9.05'tir. Bu, başlangıçta düşük hastalık prevalansı (%0.5) ve testin yanlış pozitif verme olasılığının (%5) etkisiyle ortaya çıkan, oldukça düşük bir orandır.
Bu örnek, Bayes çıkarımının nasıl kullanıldığını ve özellikle tıbbi testlerin yorumlanmasında nasıl önemli bir rol oynayabileceğini göstermektedir. Başlangıçta düşük bir hastalık prevalansı olan durumlarda, hatta oldukça güvenilir bir test bile yüksek oranda yanlış pozitif sonuçlar verebilir. Bu, test sonuçlarının dikkatli bir şekilde değerlendirilmesi gerektiğini ve tek bir test sonucunun her zaman kesin bir tanı anlamına gelmeyebileceğini gösterir.